Neue Geometrie-WebApps: Raute und Quadrat

Soeben habe ich zwei neue WebApps online gestellt: Der Raute-Zeichner zeichnet eine Raute aus zwei gegebenen Punkten und einer gegebenen Seitenlänge, der Quadrat-Zeichner ein Quadrat aus zwei Punkten A und B.

Beide Apps sind für die Unterstufe gedacht: Schritt für Schritt wird gezeigt, wie die geometrischen Figuren gezeichnet werden können. Dazu werden Geodreieck und Zirkel verwendet.

Für mathematisch Interessierte: In diese Apps sind zahlreiche Dinge aus der Schulmathematik eingearbeitet, bei denen man vielleicht oft nicht weiß, wozu man sie im „echten Leben“ gebrauchen kann: Quadratische Gleichungen (um die Schnittpunkte von Kreisen auszurechnen), lineare Funktionen (für die Geraden), lineare Gleichungen (um die Schnittpunkte von Geraden auszurechnen), Determinanten (um festzustellen, ob ein Punkt „rechts“ oder „links“ von einer Geraden liegt) und viel analytische Geometrie.

Mathematik im Alltag: Wer zieht sich selbst?

Heute war der erste Tag eines sehr lohnenden Seminars der Heraeus-Stiftung. Zu Beginn musste jeder Teilnehmer (wir waren 15 Stück) seinen Namen auf ein Zettelchen schreiben, falten und in einen Korb legen, aus dem dann wiederum jeder Teilnehmer einen Namen zog.

Natürlich kam sofort die Frage auf „Was ist, wenn ich mich selbst ziehe?“ Die Antwort war, das dann die Ziehung, zumindest teilweise, wiederholt werden müsse. Für mich stellte sich sofort die Frage

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ziehung wiederholt werden muss?

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Teilnehmer seinen eigenen Namen zieht.
Diese Frage ist zunächst nicht so einfach zu beantworten: Einerseits erwartet man, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner wird, wenn mehr Teilnehmer dabei sind, weil dann jeder eine sehr viel größere Auswahl hat, andererseits erwartet man, dass die Wahrscheinlichkeit bei mehr Teilnehmern größer wird, da es ja ausreicht, dass ein einziger seinen eigenen Namen zieht.
Nun wird es mathematisch: Wir bezeichnen mit n die Anzahl der Teilnehmer und mit Ai das Ereignis, dass sich der i-te Teilnehmer selbst zieht. Dann gilt

P[Ai]=(n-1)!/n!

da der i-te Teilnehmer sich selbst ziehen muss (1 Möglichkeit), der nächste Teilnehmer hat noch die Auswahl aus (n-1), der nächste aus (n-2) usw. Die Gesamtzahl aller möglichen Ziehungen ist nach demselben Argument n!, daher ergibt sich die obige Wahrscheinlichkeit.
Weiterhin ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens k Teilnehmer selbst ziehen, diese ist nach einem ähnlichen Argument

P[A1∩A2∩…∩Ak]=(n-k)!/n!

Nun können wir mit der Siebformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
Da es (n über k) viele Teilmengen mit k Elementen gibt, ergibt sich
Siebformel
Das ist an und für sich kein besonders schönes Ergebnis, denn hier kann man nichts mehr weiter vereinfachen oder zusammenfassen. Mit Hilfe eines Computers können wir aber sehr leicht die Wahrscheinlichkeiten berechnen:

n P[Ziehung muss wiederholt werden]
2 0,5
5 0,6333333333333333
15 0,6321205588286029
100 0,6321205588285578
1000 0,6321205588285578

Wie man deutlich sieht, stabilisieren sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn das n immer größer wird, und zwar nähern sie sich immer mehr der Zahl

1-1/e≈0,6321205588285578

an! Das ist kein Zufall, denn es gilt
Siebformel2

Alles in allem hatte es diese mathematische Betrachtung (für den Laien) ganz schön in sich. Viele verwendete Informationen kann man hier noch einmal nachlesen:

Mathematik beim Briefeschreiben

Heute habe ich einen Brief mit Rechnungen versendet, insgesamt 19 Seiten Papier. Natürlich benötigt man die passenden Briefmarken, um den Brief zu frankieren. Die Preise hängen vom Gewicht ab und man das zum Beispiel hier nachsehen.

Bleibt also die Frage, wie viel der Brief wiegt. Natürlich kann man ganz pragmatisch an die Sache herangehen und die Küchenwaage benutzen, aber man kann es sich auch folgendermaßen überlegen:

Die Seiten sind sogenanntes „80 g“-Papier. Das heißt so viel wie, dass jeder Quadratmeter des Papiers 80 g wiegt. Jetzt muss man noch wissen, dass ein Blatt DIN-A0 genau 1 Quadratmeter groß ist. Ein DIN-A0-Blatt ist wiederum so groß wie zwei DIN-A1-Blätter, das heißt, ein DIN-A1-Blatt ist 1/2 m² groß (halb so groß wie ein A0-Blatt). Nach dem selben Prinzip ist ein DIN-A2-Blatt 1/4 m², ein DIN-A3-Blatt 1/8 m² und ein DIN-A4-Blatt 1/16 m² groß.

Also wiegt ein DIN-A4-Blatt 1/16 von einem DIN-A0-Blatt und das letztere wiegt 80 g. Daher wiegt ein A4-Blatt 80/16 = 5 g. Da mein Brief 19 Seiten hatte, ergibt das 5*19 = 5 * 20 -5 = 95 g.

Mathematik beim Gurkenschneiden

In einer Quizshow wurde ein Kandidat einmal gefragt, was „1 geteilt durch 1/2“ sei. Der Kandidat wusste es nicht und der Showmaster musste zugeben: „Die Lösung ist 2, aber fragen Sie mich bitte nicht, warum das so ist.“

geschnittene GurkeEine mögliche Erklärung kam mir eben beim Schneiden einer Salatgurke: Angenommen, die Gurke ist 20 cm lang. Wenn ich die Gurke in Scheiben zu 2 cm Dicke schneide, erhalte ich 10 Scheiben. Logisch, denn 20:2=10. Hmm, das ist ein bisschen viel für Gurkensalat. Wenn ich sie in Scheiben mit 1 cm Dicke schneide, erhalte ich 20 Scheiben, denn 20:1=20. Das ist mir aber immer noch zu dick! Ich hätte gerne Gurkenscheiben, die 1/2 cm dick sind!

Wenn man jetzt den Gedanken weiterspinnt, sieht man schnell ein, warum 20:(1/2)=40 sein muss.

Mathe meets CNC – Mathematik wird (be)greifbar

Am vergangenen Mittwoch, den 13. Juni 2012 fand ein wahrhaft ungewöhnliches Treffen an der BBS Montabaur statt: 19 Schülerinnen und Schüler der Nikolaus-August-Otto-Schule in Diez trafen auf 8 Zerspanungsmechaniker im 2. Lehrjahr, die an der BBS Montabaur die Berufsschule besuchen. Ziel des Ganzen war, das „Woodstock“-Logo fräsen zu lassen.

„Mit unseren Lehrern haben wir ein Modellunternehmen namens ‚Woodstock GmbH‘ gegründet. Die ‚Woodstock‘ ist ein mittelständisches Unternehmen, das Holzmöbel produziert. Eine unserer ersten Aktionen war, ein Logo für unsere Firma zu kreieren.“

Mit diesen Worten stellte eine der Diezer Schülerinnen ihre Klasse den Berufsschülern vor. Um eben dieses ‚Woodstock‘-Logo ging es bei der Lernortkooperation, denn im Mathematik-Unterricht bei ihrem Lehrer Thomas Klein hatten die Schülerinnen in wochenlanger Arbeit Funktionsgleichungen von Geraden und Parabeln aufgestellt, die genau beschreiben, aus welchen Linien das Logo zusammengesetzt ist.

Das von den Schülern fertig designte Woodstock-Logo. Die verschiedenen Farben kommen dadurch zustande, dass jedes Schüler-Team mit seiner eigenen Farbe gearbeitet hat.

In mehreren aufeinander aufbauenden Vorträgen präsentierten die Schüler, die die Fachhochschulreife anstreben, wie man eine komplexe Figur so in Einzelteile zerlegen kann, dass es möglich ist, diese Teile als Graphen von Funktionen zu beschreiben.

Dazu benutzen die Schülerinnen und Schüler den „FunctionDesigner“, ein Computerprogramm, das eigens zu diesem Zweck von Herrn Klein geschrieben worden ist und von seiner Homepage www.thomasklein1982.wordpress.com heruntergeladen werden kann. Mit diesem Programm ist es darüber hinaus möglich, über mathematischen Funktionen CNC-Maschinen zu steuern.

„Eine CNC-Maschine ist ein Gerät, das vollautomatisch Werkstücke auf den 1000stel Millimeter genau ausfräsen kann. Unsere Maschine hier kostet etwa 120.000 €.“ erklärte Jörg Schütz von der BBS Montabaur. Im Anschluss daran erläuterten die Berufsschüler, wie die Maschine im Detail funktioniert.

Nach so viel Theorie starteten die Schüler in einen Workshop, in dem jeder Schüler einen Einblick in die Arbeitsweisen der jeweils anderen Klasse gewinnen konnte. Als Abschluss der Veranstaltung konnte dann das ‚Woodstock‘-Logo gefräst werden.

„Die Idee zu dieser Kooperation der beiden beruflichen Schulen entstand in einer Veranstaltung des Studienseminars Neuwied während ich nach Ideen suchte, abstrakte mathematische Begriffe wie Funktionen erfahrbar zu machen“, erläuterte Thomas Klein, der derzeit den Vorbereitungsdienst für das Lehramt an beruflichen Schulen in Rheinland-Pfalz absolviert. Besagte Veranstaltung fand an der BBS Montabaur statt und so kam es zum Treffen zwischen Jörg Schütz, der den Umgang mit der CNC-Technik unterrichtet, und dem Referendar aus Diez. Der Anwender und der Mathematiker wurden sich schnell einig:

„Mathematik tendiert dazu, sich selbst unsichtbar zu machen. Mit dieser Veranstaltung wollten wir diesem Phänomen entgegenwirken und den Schülerinnen und Schüler im wahrsten Sinne des Wortes ‚begreifbar‘ machen, wozu Mathematik gebraucht wird.“

Das Ergebnis der Mühen: Das ‚Woodstock‘-Logo wurde per CNC-Maschine in ein Werkstück gefräst.

Mathematik im Alltag: Logo des TV Niederbrechen

Im Turnverein-Blasorchester, in dem ich mitspiele wollen wir demnächst neue T-Shirts drucken lassen und der Drucker brauchte unser Turnvereins-Logo als sogenannte Vektorgrafik.

Es gibt zwar Programme wie Inkscape, die automatisch solche Grafiken erzeugen, aber das Ergebnis war nicht so wirklich befriedigend:
Also hieß es selbst Hand anlegen. Mit Programmen wie LaTeX und TikZ ist es möglich, selbst die Koordinaten der verschiedenen Teile anzugeben und daraus Vektor-Grafiken zu erzeugen. Das weiße „F“ unten sieht dann z.B. so aus:

\draw[blue,fill=white,line width=2](86,96)--(80,96)--(80,109)--(72,109)--(72,116)--(80,116)--(80,121)
--(71,121)--(71,128)--(86,128)--cycle;

Die Zahlen in den Klammern stellen jeweils die x- und y-Koordinaten der jeweiligen Punkte dar. Das „cycle“ am Ende bedeutet, dass die Figur wieder zum ersten Punkt zurückgehen soll.
Nach etwa einer Stunde Arbeit erhielt ich dieses Ergebnis. Beurteilt selbst, ob es sich gelohnt hat.

Achterbahn

Nach langer Zeit habe ich ein Java-Applet wieder aufbereitet, das ein Freund und ich während unserer Studienzeit geschrieben haben. Dieses ist nun online und hier zu finden.

Mit dem Applet kann man sich selbst eine Achterbahn bauen und diese physikalisch korrekt simulieren. Es ist ein schönes Beispiel dafür, wofür man Mathematik (speziell: Analytische Geometrie oder „Vektorrechnung“) und Physik gebrauchen kann.

Um das Applet ausführen zu können, muss man Java3D installieren.

Smileys aus Parabeln

Ich habe letztens einen Selbsteinschätzungsbogen für den Informatik-Unterricht erstellt und dafür habe ich Smileys gebraucht. Da ich bei so etwas immer sehr perfektionistisch bin, möchte ich, dass die Smileys gut aussehen und beliebig vergrößerbar sind, ohne dass es pixelig wird. So etwas wollte ich zum Beispiel nicht:

->

Also habe ich den Smiley per Funktionsgraphen erstellt. Ging ganz schnell, wenn man ein geeignetes Koordinatensystem drüberlegt und sich mit Parabeln und Kreisen auskennt:

Der äußere Umkreis hat den Mittelpunkt (0,0) und den Radius 1, daher gilt für einen Punkt (x,y) auf dem Kreis
x²+y²=1 oder y=+/- wurzel(1-x²), für x aus [-1, 1]

Das rechte Auge hat Mittelpunkt (0,25, 0,25) und Radius 0,05, daher haben wir
(x-0,25)²+(y-0,25)²=0,05² oder y=0,25 +/- wurzel(0,05² – (x-0,25)²) für x aus [-0,3; -0,2]

Das linke Auge hat Mittelpunkt (-0,25, 0,25) und Radius 0,05, daher haben wir
(x+0,25)²+(y-0,25)²=0,05² oder y=0,25 +/- wurzel(0,05² – (x+0,25)²) für x aus [0,2; 0,3]

Für die Parabel (den Mund) haben wir den Scheitelpunkt (0 | -0,7) und nehmen eine Normalparabel, d.h. y=x²-0,7 für x aus [-0,4, 0,4]

Nun können wir das Ganze in den FunctionDesigner eingeben und eine SVG-Grafik exportieren. Hier sieht man das Ergebnis: Smiley.svg. Man beachte, dass man beliebig rein- und rauszoomen kann. Der Code für den FunctionDesigner lautet

 
//Umkreis:
ausmalfarbe=gelb
f(x)=wurzel(1-x**2);-1;1
stetig
f(x)=-wurzel(1-x**2);1;-1

//Auge rechts:
ausmalfarbe=schwarz
f(x)=0,25+wurzel(0,05**2-(x-0,25)**2);0,2;0,3
stetig
f(x)=0,25-wurzel(0,05**2-(x-0,25)**2);0,3;0,2

//Auge links:
ausmalfarbe=schwarz
f(x)=0,25+wurzel(0,05**2-(x+0,25)**2);-0,2;-0,3
stetig
f(x)=0,25-wurzel(0,05**2-(x+0,25)**2);-0,3;-0,2

//Mund:
ausmalfarbe=keine
f(x)=x**2-0,7; -0,4; 0,4

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