Neue WebApp: Rechentrainer

Die neueste WebApp ist ein Spiel, bei dem es darum geht, Rechenausdrücke mit +, -, ⋅, : und Klammern auszurechnen. Für richtige Lösungen erhält man Punkte und ab einem gewissen Punktestand steigt man eine Stufe auf, wodurch die Aufgaben kniffliger werden, es dafür aber auch mehr Punkte gibt.

Die App gibt es hier oder auf der WebApps-Seite.

Viel Spaß beim Rechnen!

Neue WebApp: Parallelogramm-Zeichner

Nachdem meine Fünfer heute große Probleme beim Zeichnen von Parallelogrammen hatten, habe ich heute Nachmittag kurzerhand eine WebApp geschrieben, die zu drei gegebenen Punkten ein Parallelogramm mit Hilfe des Geodreiecks zeichnet.

Die WebApp findet sich wie üblich unter ‚Software->WebApps‘ oder unter diesem Direktlink.

Parallelogramm

Mathe meets CNC – Mathematik wird (be)greifbar

Am vergangenen Mittwoch, den 13. Juni 2012 fand ein wahrhaft ungewöhnliches Treffen an der BBS Montabaur statt: 19 Schülerinnen und Schüler der Nikolaus-August-Otto-Schule in Diez trafen auf 8 Zerspanungsmechaniker im 2. Lehrjahr, die an der BBS Montabaur die Berufsschule besuchen. Ziel des Ganzen war, das „Woodstock“-Logo fräsen zu lassen.

„Mit unseren Lehrern haben wir ein Modellunternehmen namens ‚Woodstock GmbH‘ gegründet. Die ‚Woodstock‘ ist ein mittelständisches Unternehmen, das Holzmöbel produziert. Eine unserer ersten Aktionen war, ein Logo für unsere Firma zu kreieren.“

Mit diesen Worten stellte eine der Diezer Schülerinnen ihre Klasse den Berufsschülern vor. Um eben dieses ‚Woodstock‘-Logo ging es bei der Lernortkooperation, denn im Mathematik-Unterricht bei ihrem Lehrer Thomas Klein hatten die Schülerinnen in wochenlanger Arbeit Funktionsgleichungen von Geraden und Parabeln aufgestellt, die genau beschreiben, aus welchen Linien das Logo zusammengesetzt ist.

Das von den Schülern fertig designte Woodstock-Logo. Die verschiedenen Farben kommen dadurch zustande, dass jedes Schüler-Team mit seiner eigenen Farbe gearbeitet hat.

In mehreren aufeinander aufbauenden Vorträgen präsentierten die Schüler, die die Fachhochschulreife anstreben, wie man eine komplexe Figur so in Einzelteile zerlegen kann, dass es möglich ist, diese Teile als Graphen von Funktionen zu beschreiben.

Dazu benutzen die Schülerinnen und Schüler den „FunctionDesigner“, ein Computerprogramm, das eigens zu diesem Zweck von Herrn Klein geschrieben worden ist und von seiner Homepage www.thomasklein1982.wordpress.com heruntergeladen werden kann. Mit diesem Programm ist es darüber hinaus möglich, über mathematischen Funktionen CNC-Maschinen zu steuern.

„Eine CNC-Maschine ist ein Gerät, das vollautomatisch Werkstücke auf den 1000stel Millimeter genau ausfräsen kann. Unsere Maschine hier kostet etwa 120.000 €.“ erklärte Jörg Schütz von der BBS Montabaur. Im Anschluss daran erläuterten die Berufsschüler, wie die Maschine im Detail funktioniert.

Nach so viel Theorie starteten die Schüler in einen Workshop, in dem jeder Schüler einen Einblick in die Arbeitsweisen der jeweils anderen Klasse gewinnen konnte. Als Abschluss der Veranstaltung konnte dann das ‚Woodstock‘-Logo gefräst werden.

„Die Idee zu dieser Kooperation der beiden beruflichen Schulen entstand in einer Veranstaltung des Studienseminars Neuwied während ich nach Ideen suchte, abstrakte mathematische Begriffe wie Funktionen erfahrbar zu machen“, erläuterte Thomas Klein, der derzeit den Vorbereitungsdienst für das Lehramt an beruflichen Schulen in Rheinland-Pfalz absolviert. Besagte Veranstaltung fand an der BBS Montabaur statt und so kam es zum Treffen zwischen Jörg Schütz, der den Umgang mit der CNC-Technik unterrichtet, und dem Referendar aus Diez. Der Anwender und der Mathematiker wurden sich schnell einig:

„Mathematik tendiert dazu, sich selbst unsichtbar zu machen. Mit dieser Veranstaltung wollten wir diesem Phänomen entgegenwirken und den Schülerinnen und Schüler im wahrsten Sinne des Wortes ‚begreifbar‘ machen, wozu Mathematik gebraucht wird.“

Das Ergebnis der Mühen: Das ‚Woodstock‘-Logo wurde per CNC-Maschine in ein Werkstück gefräst.

Achterbahn

Nach langer Zeit habe ich ein Java-Applet wieder aufbereitet, das ein Freund und ich während unserer Studienzeit geschrieben haben. Dieses ist nun online und hier zu finden.

Mit dem Applet kann man sich selbst eine Achterbahn bauen und diese physikalisch korrekt simulieren. Es ist ein schönes Beispiel dafür, wofür man Mathematik (speziell: Analytische Geometrie oder „Vektorrechnung“) und Physik gebrauchen kann.

Um das Applet ausführen zu können, muss man Java3D installieren.

Smileys aus Parabeln

Ich habe letztens einen Selbsteinschätzungsbogen für den Informatik-Unterricht erstellt und dafür habe ich Smileys gebraucht. Da ich bei so etwas immer sehr perfektionistisch bin, möchte ich, dass die Smileys gut aussehen und beliebig vergrößerbar sind, ohne dass es pixelig wird. So etwas wollte ich zum Beispiel nicht:

->

Also habe ich den Smiley per Funktionsgraphen erstellt. Ging ganz schnell, wenn man ein geeignetes Koordinatensystem drüberlegt und sich mit Parabeln und Kreisen auskennt:

Der äußere Umkreis hat den Mittelpunkt (0,0) und den Radius 1, daher gilt für einen Punkt (x,y) auf dem Kreis
x²+y²=1 oder y=+/- wurzel(1-x²), für x aus [-1, 1]

Das rechte Auge hat Mittelpunkt (0,25, 0,25) und Radius 0,05, daher haben wir
(x-0,25)²+(y-0,25)²=0,05² oder y=0,25 +/- wurzel(0,05² – (x-0,25)²) für x aus [-0,3; -0,2]

Das linke Auge hat Mittelpunkt (-0,25, 0,25) und Radius 0,05, daher haben wir
(x+0,25)²+(y-0,25)²=0,05² oder y=0,25 +/- wurzel(0,05² – (x+0,25)²) für x aus [0,2; 0,3]

Für die Parabel (den Mund) haben wir den Scheitelpunkt (0 | -0,7) und nehmen eine Normalparabel, d.h. y=x²-0,7 für x aus [-0,4, 0,4]

Nun können wir das Ganze in den FunctionDesigner eingeben und eine SVG-Grafik exportieren. Hier sieht man das Ergebnis: Smiley.svg. Man beachte, dass man beliebig rein- und rauszoomen kann. Der Code für den FunctionDesigner lautet

 
//Umkreis:
ausmalfarbe=gelb
f(x)=wurzel(1-x**2);-1;1
stetig
f(x)=-wurzel(1-x**2);1;-1

//Auge rechts:
ausmalfarbe=schwarz
f(x)=0,25+wurzel(0,05**2-(x-0,25)**2);0,2;0,3
stetig
f(x)=0,25-wurzel(0,05**2-(x-0,25)**2);0,3;0,2

//Auge links:
ausmalfarbe=schwarz
f(x)=0,25+wurzel(0,05**2-(x+0,25)**2);-0,2;-0,3
stetig
f(x)=0,25-wurzel(0,05**2-(x+0,25)**2);-0,3;-0,2

//Mund:
ausmalfarbe=keine
f(x)=x**2-0,7; -0,4; 0,4

Eine Urne ist eine Urne ist eine Urne

Im heutigen Mathe-Förderunterricht ging es unter anderem um folgende Aufgabe:

„In einer Urne liegen eine schwarze, zwei rote und drei weiße Kugeln. Man zieht zweimal nacheinander ohne zurückzulegen. Geben Sie einen möglichst feinen Ereignisraum Omega an und bestimmen Sie die Mächtigkeit von Omega.“

Wie man sich vielleicht denken kann, halte ich diese Aufgabe für ziemlich beschränkt, weil überhaupt nicht klar ist, für welchen Zweck dieses Omega aufgestellt werden soll.

Naja, im Ma-Fö kamen wir zur folgenden Lösung:

Omega={sr,sw,rr,ww,wr} mit Mächtigkeit (Anzahl der Elemente)=5

Natürlich hatten wir das „nacheinander“ übersehen und deshalb müsste Omega etwas anders aussehen (wie genau? Da kommen Sie selbst drauf!).

Das Problem ist jedoch, dass dieses Omega kein Laplace-Raum ist, d.h., die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser 5 Ereignisse ist nicht gleich groß! Klarerweise ist P[rr] kleiner als P[ww] (weil es weniger rote Kugeln gibt).

Wenn man also Wahrscheinlichkeiten berechnen möchte, muss man Omega größer machen: Wir nummerieren einfach alle Kugeln von a bis f durch:

a= schwarze Kugel, b, c=rote Kugeln, d, e, f: weiße Kugeln

Dann bekommen wir folgendes Omega:

Omega={ab, ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf, cd,…, ef}

Das sind insgesamt 6 über 2 = 15 Elemente und nun ist jedes Ereignis aus Omega gleich wahrscheinlich. Wir bekommen zum Beispiel:

  • P[rr] = P[bc] = 1/15, also ungefähr 6%
  • P[ww]=P[de, df, ef] = 3/15 = 1/5 = 20%

Das Blöde ist also, dass man nicht weiß, wofür dieses Omega benötigt wird. Wenn es nur darum geht, die möglichen Ausgänge des Experiments zu beschreiben, ist der erste Ansatz der einfachste und damit sinnvollste. Wenn man aber Wahrscheinlichkeiten berechnen möchte, benötigt man den zweiten Weg.

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