Eine Urne ist eine Urne ist eine Urne

Im heutigen Mathe-Förderunterricht ging es unter anderem um folgende Aufgabe:

„In einer Urne liegen eine schwarze, zwei rote und drei weiße Kugeln. Man zieht zweimal nacheinander ohne zurückzulegen. Geben Sie einen möglichst feinen Ereignisraum Omega an und bestimmen Sie die Mächtigkeit von Omega.“

Wie man sich vielleicht denken kann, halte ich diese Aufgabe für ziemlich beschränkt, weil überhaupt nicht klar ist, für welchen Zweck dieses Omega aufgestellt werden soll.

Naja, im Ma-Fö kamen wir zur folgenden Lösung:

Omega={sr,sw,rr,ww,wr} mit Mächtigkeit (Anzahl der Elemente)=5

Natürlich hatten wir das „nacheinander“ übersehen und deshalb müsste Omega etwas anders aussehen (wie genau? Da kommen Sie selbst drauf!).

Das Problem ist jedoch, dass dieses Omega kein Laplace-Raum ist, d.h., die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser 5 Ereignisse ist nicht gleich groß! Klarerweise ist P[rr] kleiner als P[ww] (weil es weniger rote Kugeln gibt).

Wenn man also Wahrscheinlichkeiten berechnen möchte, muss man Omega größer machen: Wir nummerieren einfach alle Kugeln von a bis f durch:

a= schwarze Kugel, b, c=rote Kugeln, d, e, f: weiße Kugeln

Dann bekommen wir folgendes Omega:

Omega={ab, ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf, cd,…, ef}

Das sind insgesamt 6 über 2 = 15 Elemente und nun ist jedes Ereignis aus Omega gleich wahrscheinlich. Wir bekommen zum Beispiel:

  • P[rr] = P[bc] = 1/15, also ungefähr 6%
  • P[ww]=P[de, df, ef] = 3/15 = 1/5 = 20%

Das Blöde ist also, dass man nicht weiß, wofür dieses Omega benötigt wird. Wenn es nur darum geht, die möglichen Ausgänge des Experiments zu beschreiben, ist der erste Ansatz der einfachste und damit sinnvollste. Wenn man aber Wahrscheinlichkeiten berechnen möchte, benötigt man den zweiten Weg.

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