Autor: thomasklein1982

Heute war der erste Tag eines sehr lohnenden Seminars der Heraeus-Stiftung. Zu Beginn musste jeder Teilnehmer (wir waren 15 Stück) seinen Namen auf ein Zettelchen schreiben, falten und in einen Korb legen, aus dem dann wiederum jeder Teilnehmer einen Namen zog.

Natürlich kam sofort die Frage auf „Was ist, wenn ich mich selbst ziehe?“ Die Antwort war, das dann die Ziehung, zumindest teilweise, wiederholt werden müsse. Für mich stellte sich sofort die Frage

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ziehung wiederholt werden muss?

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Teilnehmer seinen eigenen Namen zieht.
Diese Frage ist zunächst nicht so einfach zu beantworten: Einerseits erwartet man, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner wird, wenn mehr Teilnehmer dabei sind, weil dann jeder eine sehr viel größere Auswahl hat, andererseits erwartet man, dass die Wahrscheinlichkeit bei mehr Teilnehmern größer wird, da es ja ausreicht, dass ein einziger seinen eigenen Namen zieht.
Nun wird es mathematisch: Wir bezeichnen mit n die Anzahl der Teilnehmer und mit A_i das Ereignis, dass sich der i-te Teilnehmer selbst zieht. Dann gilt

P[A_i]=(n-1)!/n!

da der i-te Teilnehmer sich selbst ziehen muss (1 Möglichkeit), der nächste Teilnehmer hat noch die Auswahl aus (n-1), der nächste aus (n-2) usw. Die Gesamtzahl aller möglichen Ziehungen ist nach demselben Argument n!, daher ergibt sich die obige Wahrscheinlichkeit.
Weiterhin ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens k Teilnehmer selbst ziehen, diese ist nach einem ähnlichen Argument

P[A₁∩A₂∩…∩A_k]=(n-k)!/n!

Nun können wir mit der Siebformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
Da es (n über k) viele Teilmengen mit k Elementen gibt, ergibt sich

Das ist an und für sich kein besonders schönes Ergebnis, denn hier kann man nichts mehr weiter vereinfachen oder zusammenfassen. Mit Hilfe eines Computers können wir aber sehr leicht die Wahrscheinlichkeiten berechnen:

n	P[Ziehung muss wiederholt werden]
2	0,5
5	0,6333333333333333
15	0,6321205588286029
100	0,6321205588285578
1000	0,6321205588285578

Wie man deutlich sieht, stabilisieren sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn das n immer größer wird, und zwar nähern sie sich immer mehr der Zahl

1-1/e≈0,6321205588285578

an! Das ist kein Zufall, denn es gilt

Alles in allem hatte es diese mathematische Betrachtung (für den Laien) ganz schön in sich. Viele verwendete Informationen kann man hier noch einmal nachlesen:

• Anzahl k-elementige Teilmengen einer Menge mit n Elementen: Wikipedia.
• Die Siebformel: Wikipedia
• Die Exponentialreihe: Wikipedia