Mathematik und Grafiken

Auf dieser Seite beschreibe ich, wozu Mathematik verwendet werden kann, um (schöne) Grafiken zu erstellen. Näheres dazu finden Sie auch beim FunctionDesigner, einem Programm, das aus Funktionen Grafiken oder CNC-Programme erstellt.

Pixelgrafiken
Die meisten Grafiken, die am Computer erstellt und benutzt werden (z.B. auch Fotos von Digitalkameras) sind sogenannte Pixelgrafiken oder Rastergrafiken.

Eine solche Pixelgrafik funktioniert so, dass jedem Bildpunkt („Pixel“) ein Farbwert zugeordnet wird.
Beispiel: Die nebenstehende Grafik besteht aus 5×5 = 25 Pixeln:

weiß	weiß	weiß	weiß	weiß
weiß	schwarz	weiß	schwarz	weiß
weiß	weiß	weiß	weiß	weiß
rot	weiß	weiß	weiß	rot
weiß	rot	rot	rot	weiß

Prinzipiell kann man so jedes beliebige Bild beschreiben. Wenn man genügend Pixel verwendet (heutige Digicams haben 8-12 Mega-Pixel, das sind 8-12 Millionen Pixel), sieht das menschliche Auge die einzelnen Bildpunkte nicht mehr.

Ein Problem
Ein Problem gibt es aber dann, wenn eine Pixelgrafik sehr stark vergrößert werden muss. Angenommen wir wollen das rechtsseitige Firmenlogo der „Woodstock“ GmbH (ein Modellunternehmen, das ich mit Kollegen im Unterricht einsetze) als Plakat auf eine 4 mal 6 Quadratmeter große Leinwand aufbringen. In diesem Fall müsste man das Bild so stark vergrößern, dass die einzelnen Pixel wieder sichtbar werden:

Das heißt, wenn wir eine Pixel-Grafik ausreichend stark vergrößern, sehen wir sie immer „verpixelt“.

Machen Sie nun folgendes Experiment: Vergrößern Sie die Anzeige Ihres Web-Browsers (unter Firefox und Internet Explorer: „Strg“-Taste und „+“-Taste drücken). Wenn Sie das oft genug machen, werden Sie feststellen, dass alle Bilder verpixelt werden, die Schrift aber immer scharf bleibt. Wie funktioniert das?

Ein anderes Verfahren?
Anstatt eine Grafik in Punkte zu zerlegen und jedem Punkt eine Farbe zu geben, können wir ein Verfahren angeben, wie man die Grafik erzeugen kann. Rechts sehen wir z.B. eine Pixel-Grafik, die den Buchstaben „A“ zeigt. Wenn Sie jemandem erklären müssten, wie man ein „A“ zeichnet (etwa einem Kleinkind), dann werden Sie bestimmt etwas sagen wie „erst einen schrägen Strich nach oben, dann einen schrägen Strich nach unten und am Ende einen waagerechten Strich in der Mitte“.  Das Gute bei dieser Anweisung ist, dass man sie prinzipiell in jeder Größe durchführen kann. Der Nachteil ist aber, dass diese Beschreibung auch zu folgendem Bild führen könnte:

Wir benötigen also eine Möglichkeit, eine solche Beschreibung eindeutig zu formulieren. Dazu hat uns die Mathematik eine ganze Reihe Werkzeuge an die Hand gegeben.

Koordinatensysteme
Wir benutzen sogenannte Koordinatensysteme (eine Erfindung von René Descartes, einem französischen Philosophen und Mathematiker des 17. Jahrhunderts) um Punkte in einer Ebene eindeutig beschreiben zu können. Dazu verwenden wir zwei Koordinatenachsen (die „x“-Achse und die „y“-Achse). Den Schnittpunkt beider Achsen nennen wir den Nullpunkt (0|0). Damit können wir jeden Punkt der Ebene dadurch beschreiben, dass wir seine x-Koordinate und seine y-Koordinate angeben. Im Bild sehen wir z.B. die Punkte (2|5) und (-1,6|3,3).

Damit können wir unsere Beschreibung des Buchstaben „A“ präzisieren:

„Zeichne eine gerade Linie von (0|0) nach (3|6). Zeichne nun eine gerade Linie von (3|6) nach (6|0). Zeichne abschließend eine gerade Linie von (1,5|3) bis (4,5|3).“

Probieren Sie es einmal selbst aus: Nach dieser Anweisung sollte der Buchstabe „A“ auf dem Papier erscheinen.

Das Tolle daran ist nun, dass wir in der Mathematik immer nur von Längeneinheiten (oft als LE abgekürzt) sprechen. Die Zahlen bei dem Punkt (3|6) stehen also nicht für 3 cm und 6 cm, sondern für beliebige Längeneinheiten. Wenn wir den Buchstaben auf ein Blatt Papier schreiben wollen, ist 1 LE=1mm. Wollen wir den Buchstaben als Teil einer großen Überschrift, ist 1 LE=1,5cm. Für ein Plakat wiederum ist vielleicht 1 LE = 1 m!

Durch das Festlegen der Längeneinheit können wir die Grafik also vergrößern oder verkleinern ohne dass sie verpixelt wird!

Was tun bei „krummen“ Linien?
Unser Buchstabe „A“ hatte den Vorteil, dass er nur aus geraden Linien besteht. Was passiert aber, wenn man beispielsweise ein „u“ designen möchte?

Glücklicherweise hilft aber auch hier die Mathematik weiter: Auch eine Linie besteht aus einzelnen Punkten (allerdings unendlich vielen Punkten!). Wir können also eine Linie beschreiben, indem wir jeden Punkt (x|y) der Linie beschreiben. Dies kann man mit den sogenannten Funktionen erreichen.

Funktionen und Graphen
Eine Funktion y=f(x) sagt uns, wie man zu einem bestimmten x-Wert einen zugehörigen y-Wert berechnen kann. Den y-Wert bezeichnen wir auch als Funktionswert. Die Funktion f(x)=2x zum Beispiel sagt uns, dass wir den y-Wert dadurch erhalten, dass wir den x-Wert verdoppeln. Z.B. gilt f(3)=6 und f(-5)=-10. Welche Zahlen man für x einsetzen darf, ist durch den sogenannten Definitionsbereich angegeben.

Wenn wir alle möglichen Zahlen für x einsetzen und jeweils den y-Wert ausrechnen, erhalten wir viele Punkte (x|y). Diese Punkte können wir in ein Koordinatensystem eintragen und erhalten damit den sogenannten Graphen der Funktion f.

Hierbei gibt es ein Problem: Nehmen wir an, der Definitionsbereich besteht aus allen Zahlen, die größer als 3 und kleiner als 6 sind. Dies sind unendlich viele Zahlen, denn Komma-Zahlen und Brüche zählen mit! Man kann aber schlecht unendlich viele Zahlen einsetzen und die y-Werte ausrechnen.

Stattdessen kann man aber nur einige Zahlen einsetzen und die entstehenden Punkte miteinander (z.B. durch gerade Linien) verbinden. Wenn man genügend Zahlen einsetzt, sieht das Ergebnis glatt aus.

Beispiel: Wir wollen den Graphen der Funktion f(x)=x² zeichnen. Der Definitionsbereich sollen alle Zahlen von -3 bis 2 sein. Wir berechnen die Funktionswerte und legen eine Werte-Tabelle an:

x	-3	-2	-1	0	1	2
y=f(x)	9	4	1	0	1	4

Anschließend tragen wir diese Punkte in ein Koordinatensystem ein und sehen so einen Teil des Funktionsgraphen. Wenn wir die Punkte mit geraden Linien verbinden, erhalten wir auch Näherungen für die Funktionswerte zwischen den errechneten Werten (vergleiche Bild rechts).

Jetzt werden Sie vielleicht sagen, „toll, aber das ist ja total eckig“. Dieser Einwand ist unbegründet, da man jederzeit weitere Zwischenwerte berechnen kann. Dadurch kann man abhängig vom Zoomfaktor die Anzahl der Punkte anpassen. Wenn das Bild stark vergrößert wird und man die Ecken sehen würde, berechnet man einfach mehr Zwischenwerte:

Kein Ende in Sicht?
Nun ist nur noch die Frage, von wo bis wo die Funktion gezeichnet werden soll. Auch hier hilft uns die Mathematik durch den sogenannten Definitionsbereich, der meistens mit D abgekürzt wird: Der Definitionsbereich gibt an, welche Zahlen für x eingesetzt werden dürfen. D=[-2; 1] zum Beispiel bedeutet, dass x zwischen -2 und 1 liegen muss. Dadurch werden die Funktionen sozusagen „abgeschnitten“. Für unser „u“ könnten wir den Definitionsbereich D=[-2; 2] wählen und erhielten dieses Ergebnis:

Mit diesem Handwerkszeug kann man jetzt beliebige Figuren exakt beschreiben, z.B. so:

Zeichne die Funktion r(x)=wurzel(1-x²)+1 für D=[-1; 1]. Zeichne dann die Funktion b(x)=-wurzel(1-x²)+1 für D=[-1; 0,95]. Zeichne abschließend die Funktion s(x)=1 für D=[-1; 1].

Wenn Sie diese Anweisung befolgen, sollten Sie folgendes Ergebnis erhalten:

Der FunctionDesigner
Mit dem FunctionDesigner habe ich eine Software geschrieben, die obige Sprache versteht: Sie geben Funktionen und Definitionsbereiche ein und der FunctionDesigner erzeugt daraus eine Grafik oder sogar ein Programm für eine CNC-Fräsmaschine. Nähere Informationen dazu finden Sie hier.